Décrire le mouvement d’un fluide fait appel à des notions différentes de celles développées en Mécanique du point ou du solide. Le mouvement d’un fluide est un écoulement où il y a déformation continue du fluide
On peut, de manière analogue à ce que l’on fait en Mécanique du solide, isoler (par la pensée ou en trouvant un moyen de visualisation, coloration par exemple) une partie restreinte du fluide appelée particule et la " suivre " au cours du temps c’est à dire connaître à chaque instant sa position.
Cette position sera connue, par exemple, par ses coordonnées cartésiennes , et où représentent les coordonnées de la particule choisie à l’instant , la vitesse de la particule aura pour composantes , et . Au cours du temps, la particule sera en différents points , l’ensemble des points constitue la trajectoire de la particule.
Cette façon de faire est appelée méthode de Lagrange, les variables introduites sont appelées variables de Lagrange.
La méthode de Lagrange s’avère dans la plupart des cas délicate car il n’est pas facile de suivre les particules : elle est peu employée.
La méthode d’Euler consiste à connaître la vitesse des particules au cours du temps à un endroit donné déterminé par ses coordonnées, par exemple cartésiennes . Elle est plus employée que la méthode de Lagrange, la connaissance du champ des vitesses étant suffisante pour la description du fluide en mouvement.
Les composantes du vecteur vitesse sont des fonctions des variables (), ainsi où , et
L’écoulement du fluide est permanent ou stationnaire si ses composantes de vitesse sont indépendantes de la variable temps ; il est dit non-permanent ou instationnaire si cette condition n’est pas réalisée.
L’écoulement du fluide est uniforme si ses composantes de vitesse sont indépendantes des coordonnées d’espace ; il est non-uniforme si cette condition n’est pas remplie.
Remarque : Dans la méthode d’Euler, l’accélération d’une particule peut être due, bien sur, au caractère instationnaire de l’écoulement mais aussi à sa non-uniformité. Ainsi, chacun a pu constater, dans l’écoulement permanent d’une rivière, l’accélération des particules lors du franchissement d’un rétrécissement.
On appelle ligne de courant une courbe dont la direction tangente en chacun de ses points est la direction du vecteur vitesse. L’équation d’une ligne de courant se calcule par intégration des équations .
Un tube de courant est un ensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé.
On appelle ligne d’émission une courbe constituée par l’ensemble des points atteints à un instant donné par des particules passées antérieurement en un même point.
Trajectoire, ligne de courant et ligne d’émission sont confondues pour un écoulement permanent.
1.2. Dérivation suivant la méthode d’Euler
Considérons la fonction scalaire rendant compte d’une grandeur physique caractéristique du fluide au point de coordonnées et au temps .
La particule fluide au temps sera au point de coordonnées .
La variation de la fonction sera donc égale à :
La dérivée , que l’on note et que l’on appelle dérivée particulaire, est égale à :
Cette dérivée apparaît comme la somme de deux termes :
le premier, qualifié de convectif ou advectif, est du à la non-uniformité de l’écoulement,
le second, qualifié de temporel, est du au caractère instationnaire de l’écoulement.
1.3. Equation de continuité (ou de conservation de la masse)
Soit une partie d’un fluide de masse volumique délimitée par une surface fermée (de volume ).
Soit un vecteur élémentaire de cette surface, orienté vers l’extérieur à la surface fermée.
La partie de fluide a une masse , le débit massique sortant de la surface est égal à .
La conservation de la masse s’écrit où représente le débit massique de fluide interne au volume considéré, compté positivement s’il s’agit d’une source et négativement s’il s’agit d’un puits.
Compte tenu du théorème d’Ostrogradsky , l’équation de conservation de la masse peut être écrite
Remarque :
Sauf précision contraire, nous appliquerons l’équation de conservation de masse en absence de source ou de puits, soit .
Deux cas particuliers sont alors à considérer.
Le cas 1 du fluide incompressible () ð pour un écoulement stationnaire ou instationnaire.
Cet écoulement est dit isovolume.
Le cas 2 d’un écoulement stationnaire () ð
En dehors de la possibilité cas 1, il existe la possibilité d’écoulements isovolumes tels que où les variations de masse volumique sont orthogonales, en tout point, au vecteur vitesse.
Ce cas correspond à des écoulements stratifiés par salinité ou température (courants marins), par température et humidité (atmosphère).
1.4. Ecoulements laminaire et turbulent
L’introduction de marqueurs (fumée dans le cas des gaz, colorant pour les liquides), permet d’observer des différences importantes dans le comportement des écoulements des fluides.
Dans certains écoulements, les particules marquées diffusent très lentement c’est à dire s’écartent peu les unes des autres, les différentes couches (lamelles) glissent les unes par rapport les autres sans se mélanger : l’écoulement est dit laminaire.
Au contraire dans d’autres écoulements les particules marquées s’éloignent très rapidement de manière " aléatoire, irrégulière, dans toutes les directions " les unes des autres, on ne retrouve plus de trace de marquage significative très près de l’endroit où le marqueur a été introduit : l’écoulement est dit turbulent.
D’évidence, l’écoulement sera laminaire à faible vitesse alors que les grandes vitesses provoqueront l’instabilité des particules c’est à dire le caractère turbulent de l’écoulement. En fait, la transition entre écoulement laminaire et turbulent dépend de la vitesse, mais aussi des caractéristiques (viscosité) du fluide, de la forme de l’écoulement (espace fermé –canalisation- ; espace ouvert –sur une surface à " l’air libre "-).
Il découle de ces propos que, pour un écoulement turbulent, les variables, en un point donné, qui caractérisent l’écoulement varient de manière aléatoire et que la notion d’écoulement permanent ne peut être comprise qu’en moyenne (la valeur moyenne de toute variable caractéristique de l’écoulement étant, alors, indépendante du temps).
Au contraire, pour un écoulement laminaire, les fluctuations des variables sont négligeables, à la limite nulles.
1.5. Notion de viscosité dans un fluide en mouvement
L’expérience montre que, lors d’un écoulement d’un fluide, la pression (force normale) ne suffit pas à expliquer les phénomènes et qu’il convient d’introduire des forces tangentielles qui s’opposent au mouvement du fluide. Ces forces, de type frottement, dues aux interactions entre molécules du fluide, sont appelées forces de viscosité.
On constate que lorsque le cavité cylindrique extérieure est mis en rotation à vitesse , le cylindre intérieur tourne d’un angle par rapport à sa position d’équilibre. Le fil de torsion exerce un couple de rappel qui équilibre des efforts tangentiels au cylindre. La notion de pression ne suffit pas pour rendre compte du système de forces.
Pour les liquides purs de faible masse molaire ou les solutions peu concentrées, le couple est proportionnel à la vitesse de rotation et inversement proportionnel à l’épaisseur si .
Entre deux couches successives de fluides à vitesses et , on introduit des forces parallèles à l'écoulement qui accélèrent la couche la plus lente et ralentissent la couche la plus rapide.
On appelle fluides newtoniens, les fluides pour lesquelles ces forces obéissent à la loi générale :
(force par unité de surface dans le plan tangent à deux couches successives) est appelée contrainte tangentielle et viscosité dynamique qui, dans le système MKSA s’exprime ou ( appelé poiseuille).
Si nous supposons , la couche de fluide située en " tire " sur la couche de fluide en avec la contrainte . Evidemment, la couche en est retenue par une contrainte .
Dans l’expérience Couette la contrainte est égale à : .
a + alex
)qu avec les 4
(surement dût a l'ancienne fuite d'huile de la fourche). 
